已知数列{an}满足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1(n∈N*)．（1）若a=-1，求数列{an}的通项公式；（2）若a=3，试证明：对?n∈N*，an是4的倍数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1(n∈N*)．（1）若a=-1，求数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1 (n∈N*)．
（1）若a=-1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对?n∈N^*，a_n是4的倍数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a=-1时，a1=-4，an+1=aan-1+1
令b_n=a_n-1，则b1=-5，bn+1=(-1)bn
∵b₁=-5为奇数，b_n也是奇数且只能为-1
∴bn=

-5，n=1

-1，n≥2

，即an=

-4，n=1

0，n≥2

；
（2）证明：a=3时，a1=-4，an+1=3an-1+1
①n=1时，a₁=4，命题成立；
②设n=k时，命题成立，则存在t∈N^*，使得a_k=4t
∴ak+1=3ak-1+1=3^4t-1+1=27?（4-1）^4（t-1）+1
∵（4-1）^4（t-1）=44(t-1)-

C

14(t-1)

?44t-5+…+

C	4t-34(t-1)

?4+1=4m+1，m∈Z
∴ak+1=3ak-1+1=27?（4m+1）+1=4（27m+7）
∴n=k+1时，命题成立
由①②可知，对?n∈N^*，a_n是4的倍数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1(n∈N*)．（1）若a=-1，求数..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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