已知数列{an}的前n项和Sn=an2+1an-1且an＞0，n∈N+（1）求a1，a2，a3的值，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想的正确性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn=an2+1an-1且an＞0，n∈N+（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和Sn=

an

2

+

1

an

-1且a_n＞0，n∈N⁺
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想的正确性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）n=1时，a1=S1=

a1

2

+

1

a1

-1，
∴a₁²+2a₁-2=0，
又a₁＞0，∴a1=

3

-1．
同理，得a2=

5

-

3

，a3=

7

-

5

，猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
（2）证明：n=1时，a1=

3

-1，
假设n=k时，猜想正确，即ak=

2k+1

-

2k-1

，
又a_k+1=S_k+1-S_k=

ak+1

2

+

1

ak+1

-

ak

2

-

1

ak

，
∴ak+1=

2k+3

-

2k+1

=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

，
即n=k+1时，也成立．
∴对n∈N⁺，都有an=

2n+1

-

2n-1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn=an2+1an-1且an＞0，n∈N+（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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