已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，满足Sn=6-2an+1（n∈N*），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式；（3）用数学归纳法证明（2）的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，满足Sn=6-2an+1（n∈N*），（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，满足S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为a₁=3，且S_n=6-2a_n+1（n∈N^*），所以S₁=6-2a₂=a₁=3
解得a2=

3

2

，…（理（2分），文3分）
又S2=6-2a3=a1+a2=3+

3

2

，
解得a3=

3

4

…（理（3分），文6分）
S3=6-2a4=a1+a2+a3=3+

3

2

+

3

4

，
所以有a4=

3

8

…（理（5分），文9分）
（2）由（1）知a₁=3=

3

20

，a2=

3

2

=

3

21

，a3=

3

4

=

3

22

，a4=

3

8

=

3

23

猜想an=

3

2n-1

（n∈N^*）…（理（9分），文14分）
（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；…（理10分）
②假设n=k时，命题成立，即 a_k=

3

2k-1

，…（理11分）
当n=k+1时，S_k=6-2a_k+1（k∈N^*）a₁+a₂+…+a_k=6-2a_k+1
即3+

3

2

+

3

4

+…+

3

2k-1

=6-2a_k+1
a_k+1=

3

2k

，
即当n=k+1时，命题成立．…（理13分）
根据①②得n∈N⁺，a_n=

1

2n-1

都成立…（理14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，满足Sn=6-2an+1（n∈N*），（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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