设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n∈N*)求证：（1）xn＞2，且xn+1＜xn（n∈N*）；（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+12n-1(n∈N*)．-数学试题及答案

1、试题题目：设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设a＞2，给定数列{xn}，其中x 1=a，xn+1=

x

2n

2(xn-1)

(n∈N*)求证：
（1）x_n＞2，且x_n+1＜x_n（n∈N*）；
（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+

1

2n-1

(n∈N*)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）使用数学归纳法证明x_n＞2
当n=1时，x₁=a＞2命题成立；
假设当n=k（k∈N^*）时命题成立，即x_k＞2，且x_k+1＜x_k．
当n=k+1时，xk+1-2=

x

2k

2(xk-1)

-2=

(xk -2)2

2(xk-1)

＞0
即x_k+1＞2
综上对一切n∈N^*，有x_n＞2．（4分）
当x_n＞2时，

xn+1

xn

=

xn

2(xn-1)

=

1

2(1-

1

xn

)

＜

1

2(1-

1

2

)

=1
∴x_n+1＜x_n（n∈N^*）（6分）
（2）因为x_n＞2，所以

xn-2

xn-1

=1-

1

xn-1

∈(0，1)．
故xn+1-2=

(xn-2)2

2(xn-1)

=

1

2

(xn-2)(

xn-2

xn-1

)＜

1

2

(xn-2)(n∈N*)（10分）
由此可得xn-2≤

1

2

(xn-1-2)≤

1

22

(xn-2-2)≤…≤(x1-2)

1

2n-1

=(a-2)

1

2n-1

，
∴xn≤2+

a-2

2n-1

当2＜a≤3时，xn≤2+

1

2n-1

(n∈N*)（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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