已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an?(4-an)，n∈N．（1）求a1，a2；（2）证明an＜an+1＜2，n∈N．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an?(4-an)，n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=

1

2

an?(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a0=1，a1=

1

2

a0(4-a0)=

3

2

，a2=

1

2

a1(4-a1)=

15

8

．
（2）用数学归纳法证明：
1°当n=0时，a0=1，a1=

3

2

，∴a₀＜a₁＜2，命题正确．
2°假设n=k时，有a_k-1＜a_k＜2．
则n=k+1时，ak-ak+1=

1

2

ak-1(4-ak-1)-

1

2

ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-

1

2

(ak-1-ak)(ak-1+ak)=

1

2

(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)．
而a_k-1-a_k＜0，4-a_k-1-a_k＞0，∴a_k-a_k-1＜0．
又ak+1=

1

2

ak(4-ak)=

1

2

[4-(ak-2)2]＜2，∴n=k+1时命题正确．
由1°、2°知，对一切n∈N，有a_n＜a_n+1＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an?(4-an)，n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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