抛物线C：y=ax2的准线为y=-12，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A，B，|AB|=1．（1）求a的值；（2）求P点的轨迹．-数学试题及答案

1、试题题目：抛物线C：y=ax2的准线为y=-12，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

抛物线C：y=ax²的准线为y=-

1

2

，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A，B，|AB|=1．
（1）求a的值；
（2）求P点的轨迹．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：曲线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知：抛物线的准线为y=-

1

2

，
∴

p

2

=

1

2

，∴p=1…（2分）
∴抛物线为x²=2y即y=

1

2

x2，
∴a=

1

2

…（5分）
（2）设M(x1，

1

2

x

21

)，N(x2，

1

2

x

22

)，P(x，y)
∵y=

1

2

x2，∴y′=x，∴k_PM=x₁
直线PM：y-

1

2

x

21

=x1(x-x1)，即y=x1x-

1

2

x

21

令y=0得x=

1

2

x1即A(

1

2

x1，0)
同理PN：y=x2x-

1

2

x

22

，B(

1

2

x2，0)…（9分）
由

y=x1x-

1

2

x

21

y=x2x-

1

2

x

22

得

x=

x1+x2

2

y=

x1x2

2

∵|AB|=1，∴|

1

2

x1-

1

2

x2|=1，∴(x1+2)2-4x1x2=4
∴（2x）²-8y=4即y=

1

2

x2-

1

2

…（12分）
∴P的轨迹方程为y=

1

2

x2-

1

2

，轨迹是一条抛物线 …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线C：y=ax2的准线为y=-12，PM，PN切抛物线于M，N且与X轴交于A..”的主要目的是检查您对于考点“高中曲线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中曲线的方程”。

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