已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且OP⊥OQ，记点P的轨迹为C1，（1）求曲线C1的方程；（2）设直线l与x轴交于点A，且OB=PA(OB≠0)，试判断直线PB与-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且

OP

⊥

OQ

，记点P的轨迹为C₁，
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，且

OB

=

PA

(

OB

≠0)，试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论；
（3）已知圆C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交点处的切线相互垂直，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：曲线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），
∵

OP

⊥

OQ

∴

OP

?

OQ

=0…（2分）
∴x²-2y=0，
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
∴曲线C的方程为x²=2y（x≠0）．
（2）设点P的坐标（x₀，y₀），∴A（x₀，0）∵

OB

=

PA

∴

OB

=(0，-y0)
∵

OB

≠0∴直线PB的斜率k=

2y0

x0

…（5分）
∵x₀²=2y₀∴k=x₀∴直线PB的方程为y=x₀x-y₀…（6分）
代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，∵△=4x₀²-8y₀=0
∴直线PB与曲线C₁相切．…（7分）
（3）不妨设C₁、C₂的一个交点为N（x₁，y₁），C₁的方程为y=

1

2

x2
则在C₁上N点处切线的斜率为y′=x₁．C₂上过N点的半径的斜率为k=

y1-a

x1

x1=

y1-a

x1

，
又y1=

1

2

x12，得y₁=-a，x₁²=-2a…（10分）
∵N（x₁，y₁）在圆C₂上，∴-2a+4a²=2，∴a=-

1

2

或a=1
∵y₁＞0∴a＜0，∴a=-

1

2

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l..”的主要目的是检查您对于考点“高中曲线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中曲线的方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：