设α，β，γ都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明（1）sin2α+sin2β+sin2γ≥13；（2）tan2α+tan2β+tan2γ≥38．-数学试题及答案

1、试题题目：设α，β，γ都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明（1）sin2α+sin2β+si..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

设α，β，γ 都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明
（1）sin²α+sin²β+sin²γ≥

1

3

；
（2）tan²α+tan²β+tan² γ≥

3

8

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柯西不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由柯西不等式得：（sin²α+sin²β+sin²γ）（1+1+1）≥（1?sinα+1?sinβ+1?sinγ）²，
因为sinα+sinβ+sinγ=1，所以3（sin²α+sin²β+sin²γ）≥1，得：sin²α+sin²β+sin²γ≥

1

3

．
（2）由恒等式tan²x=

1

cos2x

-1和若a，b，c＞0，则

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

9

a+b+c

，
得tan²α+tan²β+tan² γ=

1

cos2α

+

1

cos2β

+

1

cos2γ

-3≥

9

cos2α+cos2β+cos2γ

-3．
于是

9

cos2α+cos2β+cos2γ

=

9

3-(sin2α+sin2β+sin2γ)

≥

9

3-

1

3

=

27

8

，
由此得tan²α+tan²β+tan² γ≥

27

8

-3=

3

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设α，β，γ都是锐角，且sinα+sinβ+sinγ=1，证明（1）sin2α+sin2β+si..”的主要目的是检查您对于考点“高中柯西不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柯西不等式”。

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