如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．将△ABD沿对角线BD折起（图2），记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD．（1）求三棱锥P-BCD的体积；-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．将△ABD沿对角线BD折起（图2），记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱锥P-BCD的体积；
（2）求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小．

魔方格

试题来源：肇庆二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵平面PBD⊥平面BCD，PE⊥BD，PE?平面PBD，平面PBD∩平面BCD=BD，
∴PE⊥平面BCD，
即PE是三棱锥P-BCD的高，
又∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°，CD=BD=

AB2+AD2

=

2

，
∴PE=AE=ABsin45o=

2

，S△BCD=

1

2

BD?CD=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱锥P-BCD的体积V=

1

3

S△BCD?PE=

1

3

×1×

2

=

2

6

．
（2）过E作直线EG∥DC，交BC于G，则EG⊥BD，EG⊥PE
如图建立空间直角坐标系，

魔方格

则P(0，0，

2

)，B(

2

，0，0)，C(-

2

，

2

，0)，D(-

2

，0，0).

PB

=(

2

，0，-

2

)，

PC

=(-

2

，

2

，-

2

)，

PD

=(-

2

，0，-

2

)．
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

?

PB

=0

n

?

PC

=0

，即

2

x-

2

z=0

-

2

x+

2

y-

2

z=0

，化简得

z=x

x-2y+z=0

令x=1，得z=1，y=1，所以

n

=（1，1，1）是平面PBC的一个法向量．
再设

m

=(x1，y1，z1)，
则

m

?

PC

=0

m

?

PD

=0

，即

-

2

x1+

2

y1-

2

z1=0

-

2

x1-

2

z1=0

，化简得

x1-2y1+z1=0

x1+z1=0

令x₁=1，得y₁=0，z₁=-1，所以平面PCD的一个法向量为

m

=（1，0，-1）．
设向量

n

和

m

所成角为θ，则cosθ=|

n

?

m

|

n

|?|

m

|

|=

0

3

?

2

=0．
∴平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为90°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：