如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC，点F是线段CC1的中点（Ⅰ）证明：AF∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A1-DB-A的正切值；（Ⅲ）求三棱锥F-BED的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3E..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC，点F是线段CC₁的中点
（Ⅰ）证明：AF∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DB-A的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥F-BED的体积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接EO
∵点E在CC₁上且C₁E=3EC，点F是线段CC₁的中点
∴E为CF的中点，则OE∥AF
又∵OE?平面BED，AF?平面BED
∴AF∥平面BED
（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（2，0，0）B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F=（0，2，2），A₁（2，0，4）．
则

DB

=(2，2，0)，

DA1

=(2，0，4)
设

n

=（x，y，z）为平面A₁DB的一个法向量，则

2x+2y=0

2x+4z=0

令z=1，

n

=（-2，2，1）
又∵

AA1

=（0，0，4）为平面ADB的一个法向量，
则cos＜

n

，

AA1

＞=

n

?

AA1

|

n

|?|

AA1|

=

1

3

则tan＜

n

，

AA1

＞=2

2

即二面角A₁-DB-A的正切值为2

2

．
（Ⅲ）三棱锥F-BED的体积等于三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的差
∴V_F-BED=V_F-BCD-V_E-BCD=

1

3

?(FC-EC)?S△BCD=

1

3

?FE?S△BCD=

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3E..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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