如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．（1）求证：平面FHG∥平面-数学试题及答案

1、试题题目：如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．
（1）求证：平面FHG∥平面ABE；
（2）记BC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求V（x）的最大值；
（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D-AB-C的余弦值．P_n（x_n，y_n）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形
如图（乙）∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点
∴FH∥CD，HG∥AE--------------------------------------（1分）
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE?面ABE，FH?面ABE
∴FH∥面ABE-------------------------------------（3分）
同理可得HG∥面ABE
又∵FH∩HG=H
∴平面FHG∥平面ABE-----------------（4分）
（2）∵平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD
∴AC⊥平面CBED----------------------------------------------------（5分）
∴V（x）=V_A-BCE=

1

3

S△BCE?AC
∵BC=x∴AC=2-x（0＜x＜2）
∴V（x）=

1

3

×

1

2

x2(2-x)=

1

6

x2(2-x)=

1

12

x?x?(4-2x)--------------（7分）
∵x?x?(4-2x)≤(

x+x+4-2x

3

)3=

64

27

∴V（x）≤

1

12

×

64

27

=

16

81

当且仅当x=4-2x即x=

4

3

时取“=”
∴V（x）的最大值为

16

81

-------------------------------------------（9分）
（3）以点C为坐标原点，CB为x轴建立空间直角坐标系
如右图示：由（2）知当V（x）取得最大值时x=

4

3

，即BC=

4

3

这时AC=

2

3

，∴B(

4

3

，0，0)，D(0，

4

3

，0)，A(0，0，

2

3

)-----（10分）
魔方格

∴平面ACB的法向量

CD

=(0，

4

3

，0)
设平面ABD的法向量为

m

=(a，b，c)
∵

AB

=(

4

3

，0，-

2

3

)，

BD

=(-

4

3

，

4

3

，0)-------------（11分）
由

m

⊥

AB

，

m

⊥

BD

得-

4

3

a+

4

3

b=0，

4

3

a-

2

3

c=0
令c=1得

m

=(

1

2

，

1

2

，1)----------------------------------------（12分）
设二面角D-AB-C为θ，则cosθ=

m

?

CD

|

m

|?|

CD|

=

2

3

4

3

?

1

4

+

1

4

+1

=

6

---（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：