如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足PE=13PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角E-AC-D的余弦值．（3）在线段BC上是否存在点F，-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足

PE

=

1

3

PD

．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．
（3）在线段BC上是否存在点F，使得PF∥平面EAC？若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）

AB⊥BC

PB⊥BC

?BC⊥平面PAB?BC⊥PA，
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD；

（2）在AD上取一点O，使AO=

1

3

AD，连接EO，则EO∥PA，
所以EO⊥平面ABCD．
过点O作OH⊥AC交AC于点H，连接EH，则EH⊥AC
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，EO=

2

3

AP=

4

3

；在Rt△AHO中，∠HAO=45°，
所以HO=AOsin45°=

2

3

tan∠EHO=2

2

cos∠EHO=

1

3

所以所求二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

；

（3）当F为BC中点时，PF∥平面EAC，理由如下：设AC，FD交于点S
因为AD∥FC所以

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

又因为

PE

ED

=

1

2

所以PF∥ES
因为PF?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF∥平面EAC．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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