在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．-数学试题及答案

1、试题题目：在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，∴BC=

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

3

，AD=4．
∴S_ABCD=

1

2

AB?BC+

1

2

AC?CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

．则V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

．
（Ⅱ）∵PA=CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
魔方格

∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB． …12分
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，
∴EC∥平面PAB．
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点． …12分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．…14分
∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：