在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE=CF=2a．（1）求证：B1F⊥平面ADF；（2）求三棱锥B1-ADF的体积；（3）求证：BE∥平面ADF．-数学试题及答案

1、试题题目：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A₁A，C₁C上一点，且AE=CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥B₁-ADF的体积；
（3）求证：BE∥平面ADF．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．
魔方格

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F?平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=a，B₁C₁=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，可得B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD．
（2）∵B₁F⊥平面AFD，∴B₁F是三棱锥B₁-ADF的高
等腰△ABC中，AD=

AC2-(

1

2

BC)2

=2

2

a，
矩形BB₁C₁C中，DF=B₁F=

a2+(2a)2

=

5

a
因此，三棱锥B₁-ADF的体积为
V B1-AFD=

1

3

×S_△AFD×B₁F=

1

3

×

1

2

×AD×DF×B 1F=

5

2

3

a3．
（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，
∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．
∵D为BC中点，∴MD∥BE．
∵MD?平面ADF，BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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