在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且3a=2csinA．（1）确定∠C的大小；（2）若c=3，求△ABC周长的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且3a=2csinA．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且

3

a=2csinA．
（1）确定∠C的大小；
（2）若c=

3

，求△ABC周长的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

3

a=2csinA变形得：

a

c

=

2sinA

3

，
又正弦定理得：

a

c

=

sinA

sinC

，
∴

2sinA

3

=

sinA

sinC

，
∵sinA≠0，∴sinC=

3

2

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠C=

π

3

；
（2）∵c=

3

，sinC=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

2

=2，
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

3

=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]+

3

=2（sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）+

3

=3sinA+

3

cosA+

3

=2

3

（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）+

3

=2

3

sin（A+

π

6

）+

3

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴

π

6

＜∠A＜

π

2

，
∴

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
则△ABC周长的取值范围是（3+

3

，3

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且3a=2csinA．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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