点P（x，y）是曲线C：y=1x（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+22；③曲线C上存在-数学试题及答案

1、试题题目：点P（x，y）是曲线C：y=1x（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-25 07:30:00

试题原文

点P（x，y）是曲线C：y=

1

x

（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周长有最小值4+2

2

；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

试题来源：海淀区二模试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设动点P(m，

1

m

)（m＞0），则y′=-

1

x2

，∴f′(m)=-

1

m2

，
∴过动点P(m，

1

m

)的切线方程为：y-

1

m

=-

1

m2

(x-m)．
①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B(0，

2

m

)．
则|PA|=

m2+

1

m2

，|PB|=

m2+

1

m2

，∴|PA|=|PB|，故①正确；
②由上面可知：△OAB的周长=2m+

2

m

+2

m2+

1

m2

≥2×2

m×

1

m

+2

2

m2×

1

m2

=4+2

2

，当且仅当m=

1

m

，即m=1时取等号．
故△OAB的周长有最小值4+2

2

，即②正确．
③假设曲线C上存在两点M(a，

1

a

)，N(b，

1

b

)，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．
则|ON|=

2

|OM|，

OM

⊥

MN

，
所以

b2+

1

b2

=

2

a2+

1

a2

a(b-a)+

1

a

(

1

b

-

1

a

)=0

化为

b2+

1

b2

=2(a2+

1

a2

)

a3b=1

解得

a=

4

3-

5

2

b=

1

a3

，故假设成立．
因此③正确．
故选D

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“点P（x，y）是曲线C：y=1x（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：