已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）令bn=an+1-an-1，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知数列{an}中，a1=

1

2

，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意，∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵a1=

1

2

，∴a2=

3

4

，
同理，a3=

11

8

，a4=

35

16

；
（Ⅱ）证明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1=

an+1+n+1

2

-a_n+1-1=

1

2

（a_n+1-a_n-1）=

1

2

b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

∴数列{b_n}是以-

3

4

为首项，

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅲ）存在λ=2，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列．
由（Ⅱ）知，bn=-3×(

1

2

)n+1，Tn=3×(

1

2

)n+1-

3

2

，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+3×(

1

2

)n+1，∴a_n=n-2+3×(

1

2

)n，
∴S_n=

n(n+1)

2

-2n+3×

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

=

n2-3n

2

+3-

3

2n

由题意，要使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列，则2×

S2+λT2

2

=

S1+λT1

1

+

S3+λT3

3

∴2×

10-9λ

16

=

1

2

-

3

4

λ+

42-21λ

48

，∴λ=2
当λ=2时，

Sn+λTn

n

=

n-3

2

，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=12，点(n，2an+1-an)(n∈N*)在直线y=x上，（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：