已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立．（Ⅰ）求a1；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn=2an-1，Tn为数列{anbn}的前n项和，求证Tn＜5．-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=

2an-1

，Tn为数列{

an

bn

}的前n项和，求证T_n＜5．

试题来源：武昌区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当n=1时，4S₁=4a₁=a1 2+2a₁-3，，得a12-4a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由条件a_n＞0，所以a₁=3． …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4S_n=an2+2a_n-3，4s_n-1=an-12+2a_n-1-3；
则4S_n-4S_n-1=an2+2a_n-3-an-12-2a_n-1+3，
所以4a_n=an2+2a_n-an-12-2a_n-1，an2-2a_n-an-12-2a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由条件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n+1． …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）b_n=

2an-1

=

22n+1-1

=2ⁿ，

an

bn

=

2n+1

2n

，…（8分）
∴T_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

+

2n+1

2n

，①…（9分）
将上式两边同乘以

1

2

，得

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

②…（10分）
①-②，得

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，
即T_n=5-

2n+5

2n

．…（12分）
∵n∈N^*，∴

2n+5

2n

＞0
∴T_n＜5．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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