已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-1xn+2的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中x1=117．（1）求xn与xn+1的-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-1xn+2的直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为kn=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中x1=

11

7

．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

试题来源：茂名二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）过C：y=

1

x

上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，
则kn=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1

xn+1

-

1

xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1?xn

=-

1

xn+2

，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：xn+1=1+

2

xn

．
（2）记an=

1

xn-2

+

1

3

，
则an+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2

xn

-2

+

1

3

=-2(

1

xn-2

+

1

3

)=-2an，
因为x1=

11

7

，而a1=

1

x1-2

+

1

3

=-2≠0，
因此数列{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列．
（3）由（2）知：an=(-2)n ，则xn=2+

1

(-2)n-

1

3

，(-1)nxn=(-1)n?2+

1

2n-(-1)n?

1

3

．
①当n为偶数时有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=

1

2n-1+

1

3

+

1

2n-

1

3

=

2n-1+2n

(2n-1+

1

3

)(2n-

1

3

)

＜

2n-1+2n

2n-1?2n

＜

1

2n-1

+

1

2n

，
于是在n为偶数时有：(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

＜1．
1在n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+

1

(-2)n-

1

3

)=-1+

1

2n+

1

3

＜1．
综合①②可知原不等式得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-1xn+2的直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：