已知函数f（x）=1-xax+lnx（x＞0）．（1）当a=1时，求f（x）在[12，2]上的最小值；（2）若函数f（x）在[12，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（3）若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1-xax+lnx（x＞0）．（1）当a=1时，求f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[

1

2

，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，
所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=ln2-

1

2

，
所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．
（2）f′(x)=

1

x

-

1

ax2

=

ax-1

ax2

，
因为a为正实数，由定义域知x＞0，
所以函数的单调递增区间为[

1

a

，+∞)，
又函数f（x）在[

1

2

，+∞)上为增函数，所以0＜

1

a

≤

1

2

，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，
推得方程

1-x

2x

+lnx-m=0在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，即方程

1-x

2x

+lnx=m在区间[

1

e

，e]内恰有两个相异的实数根，
则函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点．
考察函数g(x)=

1-x

2x

+lnx，g′(x)=-

1

2x2

+

1

x

=

2x-1

2x2

，则g（x）在区间[

1

e

，

1

2

]为减函数，在[

1

2

，e]为增函数，
则有：g(e)=

1-e

2e

+lne=

1-e

2e

+1=

1+e

2e

＞0，
g(

1

2

)=

1-

1

2

2×

1

2

+ln

1

2

=

1

2

-ln2＜0，
g（

1

e

）=

1-

1

e

2×

1

e

+ln

1

e

=

e-1

2

-1=

e-3

2

＜0＜g（e），
画函数g(x)=

1-x

2x

+lnx，x∈[

1

e

，e]的草图，要使函数g(x)=

1-x

2x

+lnx的图象与函数y=m的图象在区间[

1

e

，e]内恰有两个交点，
则要满足g(

1

2

)＜m≤g(

1

e

)，
所以m的取值范围为{m|

1

2

-ln2＜m≤

e-3

2

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1-xax+lnx（x＞0）．（1）当a=1时，求f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：