若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是_____

1、试题题目：若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是______．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设f（x）=lnx-ax，定义域为（0，+∞），则f'（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

当a≤0，f'（x）＞0，最多有一个实根，因为x＞0，且x→0时，f（x）＜0，f（1）≥0，所以（0，1]之间必有一个实根
a＞0，0＜x＜

1

a

时，函数单调递增，x＞

1

a

时，函数单调递减，f（

1

a

）=-lna-1为极大值，此极大值若为0的话，则有一个实根，此时a=

1

e

此极大值若大于0的话，会有两个实根，此极大值若小于0的话，则无实根．
因此a的取值范围为：（-∞，0]∪{

1

e

}
故答案为：（-∞，0]∪{

1

e

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若关于x的方程lnx-ax=0只有一个实根，则实数a的范围是______．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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