已知函数f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[1e，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x₀，0），求证：g（x）在x₀处的导数g′（x₀）≠0．

试题来源：南开区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
则h/(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

， e]内，
当x∈[

1

e

，1)时，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函数；
当x∈[1，e]时，h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，
则方程h（x）=0在[

1

e

，e]内有两个不等实根的充要条件是：

h(

1

e

)≤0

h(1)＞0

h(e) ≤ 0.

即1＜m≤2+

2

e2

．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，g/(x)=

2

x

-2x-k．
假设结论成立，则有：

2lnx1-x12-kx1=0

①

2lnx2-x22-kx2=0

②

x1+x2=2x0

③

2

x0

-2x0-k=0

④

①-②，得2ln

x1

x2

-(x12-x22)-k(x1-x2)=0．
∴k=2

ln

x1

x2

x1-x2

-2x0．
由④得k=

2

x0

-2x0，
∴

ln

x1

x2

x1-x2

=

1

x0

即

ln

x1

x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2

x1

x2

-2

x1

x2

+1

．⑤
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
则u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴g'（x₀）≠0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx-bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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