已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1（a为常数）（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1（a为常数）（1）当a＞0时，求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数和函数f（x）=ax³-x²+1（a为常数）
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程f（x）=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=ax³-x²+1的导数为：
f′（x）=3ax²-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0?x₁=0，x₂=

2

3a

＞0 （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，

2

3a

），
∴当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间是（0，

2

3a

）
（2）当a＞0时，由（1）可得函数f（x）=ax³-x²+1在（-∞，0）和（

2

3a

，+∞）上为增函数，
在（0，

2

3a

）上为减函数，而方程f（x）=0有三个不同的解
∴f（0）＞0且f(

2

3a

) ＜0，解之得a∈(0，

2

3

9

)
同理，得到当a＜0时，使方程f（x）=0有三个不同的解的a∈(-

2

3

9

，0)
综上所述，得到符合题意的a的取值范围是：a∈(-

2

3

9

，0)∪(0，

2

3

9

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数和函数f（x）=ax3-x2+1（a为常数）（1）当a＞0时，求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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