已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin2θ=2．（1）求动点P的轨迹Q的方程；（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得CM?CN为常-数学试题及答案

1、试题题目：已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin2θ=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求动点P的轨迹Q的方程；
（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得

CM

?

CN

为常数．若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）△APB中，由余弦定理得：AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|?|PB|?cos2θ=
|PA|²+|PB|²-2|PA|?|PB|?（1-2sin²θ）=|PA|²+|PB|²-2|PA|?|PB|+4|PA|?|PB|sin²θ
=（|PA|-|PB|）²+8=16，∴||PA|-|PB||=2

2

，故点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，
且 c=2，a=

2

，∴b=

2

，故双曲线方程为 x²-y²=2．
（2）假设存在定点C（m，0），使得

CM

?

CN

为常数，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-2），
代入双曲线方程得（1-k²） x²+4k²x-（4k²+2）=0，由题意知 k≠±1．
∴x₁+x₂=

4k2

k2-1

，x₁?x₂=

4k2+2

k2-1

．
∵

CM

?

CN

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2 ）（x₂-2）
=（1+k²）x₁?x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²=

4(1 - m)

k2-1

+ m2+ 2(1-2m) 为常数，与k无关，
∴m=1，此时，

CM

?

CN

=-1．
当当直线l斜率不存在时，M（2，2

2

），N （2，-2

2

），

CM

?

CN

=-1．
综上，存在定点C（1，0），使得

CM

?

CN

为常数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin2θ=..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：