在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为725．（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）（理）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M，N两点，求|B-数学试题及答案

1、试题题目：在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为

7

25

．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）（理）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M，N两点，求|BM|?|BN|的最小值的集合．
（文）当点Q在（Ⅰ）中的曲线上运动时，求|PQ|的最大值的集合．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a（a＞0）为定值，所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴焦距2c=AB=6 （1分）
∵cosC=

PB2+PA2-62

2PB?PA

=

(PB+PA)2-2PB．PA-36

2PB?PA

=

2a2-18

PB?PA

-1（2分）
又∵PB．PA≤(

2a

2

)2=a2，cosC≥1-

18

a2

，此时p（0，±4），由题意得1-

18

a2

=

7

25

∴a²=25∴C点的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)（3分）
（注：y≠0没写扣（1分）：文科（Ⅰ）分别为2，3，（3分），共8分）
（Ⅱ）（理）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂ ），
当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）代入椭圆方程化简得(

1

25

+

k2

16

)x2+

3

8

k2x+(

9k2

16

-1)=0，显然有△≥0
∴x₁+x₂=-

150k2

16+25k2

，x₁．x₂=

225k2-400

16+25k2

而由椭圆第二定义可得|BM|?|BN|=（5-

3

5

x1）（5-

3

5

x2）=25-3（x₁+x₂） +

9

25

x1x2…（2分）
=25+

450k2

16+25k2

+

81k2-144

16+25k2

=25+

531k2-144

16+25k2

只考虑

16

25

+

144

531

k2+

16

25

的最小值，即考虑1-

16

25

+

144

531

k2+

16

25

的最小值，易知当k=0时，1-

16

25

+

144

531

k2+

16

25

的最小值
此时|BM|?|BN|取最小值16（2分）
当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3得|BM|?|BN|=（

34

5

）²＞16；（1分）
但

x2

25

+

y2

16

=1(y≠0)，故这样的M，N不存在，即|BM|?|BN|的最小值集合为空集（1分）
（文）由（Ⅰ）知P（0，±4，）不妨取P（0，4），
则|PQ|²=x²+（y-4）²=25-

25

16

y2+（y-4）²=-

9

16

(y+

64

9

)2+41+

256

9

，
∵-4≤y≤4且y≠0，
∴当y=-4时，|PQ|取到最大值8 集合为{8} （6分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：