（1）求直线y=x+1被双曲线x2-y24=1截得的弦长；（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线x2-y24=1截得的弦中点轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）求直线y=x+1被双曲线x2-y24=1截得的弦长；（2）求过定点（0，1）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

（1）求直线y=x+1被双曲线x2-

y2

4

=1截得的弦长；
（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线x2-

y2

4

=1截得的弦中点轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

x2-

y2

4

=1

y=x+1

得4x²-（x+1）²-4=0，即3x²-2x-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则有x1+x2=

2

3

，x1x2=-

5

3

得，d=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4

9

+

20

3

=

8

3

2

（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），
由

y=kx+1

x2-

y2

4

=1

得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴16k2＜80，|k|＜

5

，且x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=-

5

4-k2

，
∴x=

1

2

(x1+x2)=

k

4-k2

，y=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(x1+x2)+1=

4

4-k2

，
即

x=

k

4-k2

y=

4

4-k2

，消去k得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：设弦的两个端点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中点为P（x，y），则

4x12-y12=4

4x22-y22=4

，两式相减得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

，即

y

x

=

4x

y-1

，即4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）求直线y=x+1被双曲线x2-y24=1截得的弦长；（2）求过定点（0，1）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：