已知两定点F1(-2，0)，F2(2，0)，满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨迹是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且|AB|=253．（1）求曲线C的方程；（2）求直线AB的方程；（3）若曲线C-数学试题及答案

1、试题题目：已知两定点F1(-2，0)，F2(2，0)，满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知两定点F1(-

2

， 0)，F2(

2

， 0)，满足条件|

PF2

|-|

PF1

| =2的点P的轨迹是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且|AB| =

2

5

3

．
（1）求曲线C的方程；
（2）求直线AB的方程；
（3）若曲线C上存在一点D，使

OA

+

OB

=m

OD

，求m的值及点D到直线AB的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由双曲线的定义可知曲线C是以F1(-

2

， 0)，F2(

2

， 0)为焦点的双曲线的左半支
且c=

2

， 2a=2，a=1，故b=1，
所以轨迹C的方程是x²-y²=1．（x＜0）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得方程组

y=kx-2

x2-y2=1

消去y得（1-k²）x²+4kx-5=0
又已知直线与曲线C交于A、B两点，故有

1-k2≠0

△=(4k)2+20(1-k2)＞0

x1+x2=

-4k

1-k2

＜0

x1x2=

-5

1-k2

＞0

解得-

5

＜k＜-1
∵|AB| =

1+k2

|x2-x1| =

1+k2

?

(

-4k

1-k2

)2+4 ?

5

1-k2

=2

(1+k2)(5-k2)

(1-k2)2

=

2

5

3

∴

(1+k2)(5-k2)

(1-k2)2

=

5

9

整理得，7k⁴-23k²-20=0
解得 k2=4 或 k2=-

5

7

（舍）
由k²=4，得k=-2，（k=2舍）
于是直线AB的方程为y=-2x-2，即2x+y+2=0．
（3）由

x2-y2=1

2x+y+2=0

，解得

x1=-1

y1=0

x2=-

5

3

y2=

4

3

不妨设

OA

=(-1， 0)，

OB

=(-

5

3

，

4

3

)，
由

OA

+

OB

=m

OD

，故有

OD

=(-

8

3m

，

4

3m

)．
将D点坐标代入曲线C的方程，得

64

9m2

-

16

9m2

=1．
解得m=±

4

3

，
但当m=-

4

3

时，点D在双曲线右支上，不合题意，
∴m=

4

3

点D的坐标为(-

2

3

，

3

)，
D到线AB的距离为

|-

4

3

+

3

+2|

5

=

2

5

-

15

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知两定点F1(-2，0)，F2(2，0)，满足条件|PF2|-|PF1|=2的点P的轨..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：