已知平面上两个定点M(0，-2)、N(0，2)，P为一个动点，且满足MP?MN=|PN|?|MN|．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点AN=λNB．分别以A、B为切点作轨迹C的-数学试题及答案

1、试题题目：已知平面上两个定点M(0，-2)、N(0，2)，P为一个动点，且满足MP?M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知平面上两个定点M

(0，-2)

、N

(0，2)

，P为一个动点，且满足

MP

?

MN

=

|

PN

|?|

MN

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点

AN

=λ

NB

．分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明

NQ

?

AB

为定值．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设P（x，y）．
由已知

MP

=(x，y+2)，

MN

=(0，4)，

PN

=(-x，2-y)，

MP

?

MN

=4y+8.
|

PN

|?|

MN

|=4

x2+(y-2)2

（3分）
∵

MP

?

MN

=|

PN

|?|

MN

|
∴4y+8=4

x2+(y-2)2

整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由

AN

=λ

NB

即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2

2-y1=λ(y2-2)

将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λ²y₂（3分）
解（2）、（3）式得y1=2λ，y2=

2

λ

，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为y=

1

8

x2，求导得y′=

1

4

x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y=

1

4

x1(x-x1)+y1，y=

1

4

x2(x-x2)+y2，
即y=

1

4

x1x-

1

8

x

21

，y=

1

4

x2x-

1

8

x

22

解出两条切线的交点Q的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

8

)=(

x1+x2

2

，-2)（11分）
所以

NQ

?

AB

=(

x1+x2

2

，-4)?(x2-x1，y1-y2)
=

1

2

(

x

22

-

x

21

)-4(

1

8

x

22

-

1

8

x

21

)=0
所以

NQ

?

AB

为定值，其值为0．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知平面上两个定点M(0，-2)、N(0，2)，P为一个动点，且满足MP?M..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：