已知如图，直线l：x=-p2（p＞0），点F(p2，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF=FP?FQ．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于-数学试题及答案

1、试题题目：已知如图，直线l：x=-p2（p＞0），点F(p2，0)，P为平面上的动点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知如图，直线l：x=-

p

2

（p＞0），点F(

p

2

，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

QP

?

QF

=

FP

?

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称，求实数k满足的条件（写出关系式即可）；
（3）设动点M （a，0），过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，线段AB的中垂线与x轴交于点N，当|AB|≤2p时，求△NAB面积的最大值．

试题来源：崇明县一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P坐标为P（x，y），则点Q坐标为Q（-

p

2

，y)
则

QP

=(x+

p

2

，0)，

QF

=(p，-y)，

FP

=(x-

p

2

，y)，

FQ

=(-p，y)（2分）
由

QP

?

QF

=

FP

?

FQ

．得：y²=2px（p＞0）（4分）
（2）p=2时，y²=4x．
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0，（n为常数）．
代入y²=4x得y²+4ky+4n=0
△=（4k）²-16n＞0即k²-n＞0（3分）
又∵AB中点M在直线y=kx+3上，
则（2k²-n，-2k）代入y=kx+3得-2k=2k³-nk+3（5分）
∴

k2-n＞0

-2k=2k3-nk+3

即k2+

3

k

+2＜0．（6分）
（3）联立

y=x-a

y2=2px

?y²-2px-2pa=0，
∵△=4p²+8pa＞0?a＞-

p

2

（1分）
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

|y1-y2|=

2

(2p)2+8pa

≤2p
∴a≤-

p

4

∴-

p

2

＜a≤-

p

4

．（2分）
AB中垂线y-p=-（x-a-p），即y=-x+a+2p
令y=0，x=a+2p
∴h=

|2p|

2

=

2

p（3分）
∴S△=

2p

?

2

(2p)2+8pa

×

1

2

=P

4p2+8pa

（4分）
在(-

p

2

单调递增（5分）
当a=-

p

4

时，Smax=

2

p2．（6分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知如图，直线l：x=-p2（p＞0），点F(p2，0)，P为平面上的动点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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