已知：圆O1过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O1的轨迹为C，过一点A（l，1）作直线l，直线l与曲线C交于不同两点M、N，分别在M、N两点处作曲线C的切线l1，l2，直线l1，l2的交-数学试题及答案

1、试题题目：已知：圆O1过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O1的轨迹为C，过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知：圆O₁过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O₁的轨迹为C，过一点A（l，1）作直线l，直线l与曲线C交于不同两点M、N，分别在M、N两点处作曲线C的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂的交点为K．
（I）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）求证：直线l₁，l₂的交点K在一条直线上，并求出此直线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意和抛物线的定义可得：曲线C的轨迹是抛物线：x²=4y．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线MN的方程为：y-1=k（x-1）．
由x²=4y，得到y′=

x

2

，
∴过点M处的切线方程为y-y1=

x1

2

(x-x1)，化为x₁x=2（y+y₁），
同理在点N处的切线方程为x₂x=2（y+y₂），
解得K点的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
联立

y-1=k(x-1)

x2=4y

得到x²-4kx+4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-4．
∴x_K=2k，y_k=k-1，
消去k得到点K所在的直线方程为：x-2y-2=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：圆O1过点（0，1），并且与直线y=-l相切，则圆O1的轨迹为C，过..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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