发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-01 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)由题设有a1+a2-4a1=0,a1=1,解得a2=3.由题设又有4a22=b2b1,b1=4,解得b2=9. (Ⅱ)由题设nSn+1-(n+3)Sn=0,a1=1,b1=4,及a2=3,b2=9,进一步可得a3=6,b3=16,a4=10,b4=25,猜想an=
先证an=
当n=1时,a1=
(1)当n=2时,a2=
(2)假设n=k时等式成立,即ak=
由题设,kSk+1=(k+3)Sk(k-1)Sk=(k+2)Sk-1 ①的两边分别减去②的两边,整理得kak+1=(k+2)ak,从而ak+1=
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式an=
综上所述,等式an=
再用数学归纳法证明bn=(n+1)2,n∈N*. (1)当n=1时,b1=(1+1)2,等式成立. (2)假设当n=k时等式成立,即bk=(k+1)2,那么bk+1=
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式bn=(n+1)2对任何的n∈N*都成立. (Ⅲ)证明:当n=4k,k∈N*时,Tn=-22-32+42+52--(4k-2)2-(4k-1)2+(4k)2+(4k+1)2. 注意到-(4k-2)2-(4k-1)2+(4k)2+(4k+1)2=32k-4,故4k(4k+4)-4k=(4k)2+3×4k=n2+3n. 当n=4k-1,k∈N*时,Tn=(4k)2+3×4k-(4k+1)2=(n+1)2+3(n+1)-(n+2)2=n 当n=4k-2,k∈N*时,Tn=(4k)2+3×4k-(4k+1)2-(4k)2=3(n+2)-(n+3)2=-n2-3n-3. 当n=4k-3,k∈N*时,Tn=3×4k-(4k+1)2+(4k-1)2=3(n+3)-(n+4)2+(n+2)2=-n-3. 所以Tn=
从而n≥3时,有
总之,当n≥3时有
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数学归纳法”。