已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=14x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=14x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，-数学试题及答案

1、试题题目：已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=

1

4

x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=

1

4

x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{

1

an?(

3

2

+cn)

}的前n项和为S_n，求证：

2

3

≤S_n＜

4

3

．

试题来源：蓝山县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵y=

1

4

x²，∴y′=

x

2

，y′|_x=n=

n

2

，
∴点B_n（n，b_n）作抛物线y=

1

4

x2的切线方程为：y-

n2

4

=

n

2

（x-n），
令y=0，则x=

n

2

，即a_n=

n

2

；（3分）
∵点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n-a_n=

3n

2

（5分）
（2）若等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，则|A_nC_n|=2b_n
∴n=

n2

2

，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂为直角三角形（9分）
（3）证明：∵

1

an?(

3

2

+cn)

=

1

n

2

(

3

2

+

3n

2

)

=

1

3

4

n(n+1)

=

4

3

（

1

n

-

1

n+1

）（11分）
∴S_n=

4

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

4

3

（1-

1

n+1

）＜

4

3

又1-

1

n+1

随n的增大而增大，
∴当n=1时，S_n的最小值为：

4

3

（1-

1

1+1

）=

2

3

，
∴

2

3

≤S_n＜

4

3

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：