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1、试题题目：已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，an+1)在抛物线y2=x+1上；数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-07 07:30:00

试题原文

已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，
an+1
)在抛物线y2=x+1上；数列{bn}中，点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（文理共答）
（Ⅱ）若f（n）=
an，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
，问是否存在k∈N，使f（k+27）=4f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（文理共答）
（Ⅲ）对任意正整数n，不等式
an+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
an
n-2+an
≤0成立，求正数a的取值范围．（只理科答）

  试题来源：河东区二模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等差数列的通项公式



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）将点An(an，
an+1
)代入抛物线y2=x+1，
得an+1=an+1，
∴an+1-an=d=1，
∴an=a1+（n-1）?1=n+5，
∵过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线方程为y=2x+1，
点Bn（n，bn）在过点（0，1），以方向向量为（1，2）的直线上，
∴bn=2n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=
an，(n为奇数)
bn，(n为偶数)
=
n+5，n为奇数
2n+1，n为偶数
，
当k为偶数时，k+27为奇数，
∴f（k+27）=4f（k），
∴k+27+5=4（2k+1），∴k=4．
当k为奇数时，k+27为偶数，
∴2（k+27）+1=4（k+5），∴k=
35
2
（舍去）
综上所述，存在唯一的k=4符合条件．
（Ⅲ）由
an+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
an
n-2
+an
≤0，
即a≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)，
设f（n+1）=
1
2n+5
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)(1+
1
bn+1
)，
∴
f(n+1)
f(n)
=
2n+3
2n+5
?(1+
1
bn+1
)
=
2n+3
2n+5
?
2n+4
2n+3

=
2n+4
2n+5
?
2n+3

=
4n2+16n+16
4n2+16n+15
＞1，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）递增，
∴f（n）min=f（1）=
1
5
?
4
3
=
4
5
15
，
∴0＜a≤
4
5
15
．…（12分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}中，a1=6，点An(an，an+1)在抛物线y2=x+1上；数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。


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