若f（x）=x2-a(ln-1)(0＜x＜e)x2+a(lnx-1)(x≥e其中a∈R（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f(x)≥32a恒成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：若f（x）=x2-a(ln-1)(0＜x＜e)x2+a(lnx-1)(x≥e其中a∈R（1）当a=-2时，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

若f（x）=

x2-a(ln-1)(0＜x＜e)

x2+a(lnx-1)(x≥e

其中a∈R
（1）当a=-2时，求函数y（x）在区间[e，e²]上的最大值；
（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f(x)≥

3

2

a恒成立，求a的取值范围．

试题来源：肇庆一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-2，x∈[e，e²]时，f（x）=x²-2lnx+2，（1分）
∵f′(x)=2x-

2

x

，∴当x∈[e，e²]时，f'（x）＞0，（2分）
∴函数f（x）=x²-2lnx+2在[e，e²]上单调递增，（3分）
故f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e⁴-2（4分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

，
∵a＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递增，（5分）
故当x=e时，f(x)min=f(e)=e2；（6分）
②当1≤x≤e时，f（x）=x²-alnx+a，f′（x）=2x-

a

x

=

2

x

（x+

a

2

）（x-

a

2

），（7分）
（i）当

a

2

≤1，即0＜a≤2时，f（x）在区间[1，e）上为增函数，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e²；（8分）
（ii）当1＜

a

2

≤e，即2＜a≤2e²时，f（x）在区间(1，

a

2

]上为减函数，在区间(

a

2

，e]上为增函数，（9分）
故当x=

a

2

时，f(x)min=f(

a

2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，且此时f（

a

2

）＜f（e）=e²；（10分）
（iii）当

a

2

＞e，即a＞2e²时，f（x）=x²-alnx+a在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，f(x)min=f(e)=e2．（11分）
综上所述，函数y=f（x）在[1，+∞）上的最小值为f(x)min=

1+a，0＜a≤2

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，2＜a≤2e2

e2，a＞2e2

（12分）
由

0＜a≤2

1+a≥

3

2

a

得0＜a≤2；由

2＜a≤2e2

3a

2

-

a

2

ln

a

2

≥

3a

2

得无解；由

a＞2e2

e2≥

3a

2

得无解；（13分）
故所求a的取值范围是（0，2]．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若f（x）=x2-a(ln-1)(0＜x＜e)x2+a(lnx-1)(x≥e其中a∈R（1）当a=-2时，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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