已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于A，B两点．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，f(k)=[S(k)]2+3k2+1，求f（k）的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于A，B两点．（1）求弦A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B两点．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，f(k)=[S(k)]2+

3

k2+1

，求f（k）的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），
∵MN与MC所在直线垂直，∴

y-1

x

?

y-3

x-2

=-1，（x≠0且x≠2），
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x²+y²-2x-4y+3=0，

7-

7

4

＜x＜

7+

7

4

．（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵S_△OAB=S_△ONB-S_△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=

1

2

?|ON|?|x2-x1|
将y=kx+1代入方程（x-2）²+（y-3）²=1得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0，
∵x1+x2=

4(1+k)

1+k2

，x1?x 2=

7

1+k2

∴4S_△OAB²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁?x₂=

32k-12-12k2

(1+k2)2

，
∴f(k)=S2(k)+

3

k2+1

=

8k

(k2+1)2

，（10分）
∵由f′(k)=

-24(k+

3

)(k-

3

)

(k2+1)3

=0，∴k=±

3

，∵△＞0得

4-

7

3

＜k＜

4+

7

3

，
∴k=

3

时，f（k）的最大值为

3

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于A，B两点．（1）求弦A..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：