已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；（3）若关于x的不等式2f（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．（1）若x=1是函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+mx²-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）?P，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）g'（x）=3x²+2mx-n，
由题意得

g′(1)=0

4m2+12n＞0

，∴n=2m+3（m≠-3）．
（2）由（1）知：g'（x）=3x²+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得x1=1，x2=-1-

2m

3

(m≠-3)
①当1＞-1-

2m

3

，即m＞-3时，由g'（x）＞0得x＜-1-

2m

3

或x＞1，
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，-1-

2m

3

)，(1，+∞)；
②当1＜-1-

2m

3

，即m＜-3时，由g'（x）＞0得x＜1或x＞-1-

2m

3

，
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，1)，(-1-

2m

3

，+∞)．
（3）由（0，+∞）?P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x²+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得m≥lnx-

3

2

x-

1

2x

在x∈（0，+∞）上恒成立，
设h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，
则h′(x)=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
令h'（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），
∵当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范围是[-2，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．（1）若x=1是函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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