已知函数f（x）=-12x22x，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h′（x）存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-12x22x，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-

1

2

x22x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h^′（x）存在零点（h^′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =

y2-y1

x2-x1

（g^′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x₀＜x₂．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为h（x）=

1

2

x²-2x+log_a^x （x＞0），
所以h′（x）=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

．
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以

x2lna-2xlna+1

xlna

≥0在区间（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x²lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）²-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x²lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）²-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x₀）=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x₀=

x2-x1

lnx2-lnx1

以下证明x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

（※）
（※）等价于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x
r′（x）=lnx₂-lnx，在（0，x₂]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x₂]上为增函数．
当x₁＜x₂时，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
从而x₀＞x₁得到证明．
对于x₂＞

x2-x1

lnx2-lnx1

同理可证，所以x₁＜x₀＜x₂．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-12x22x，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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