已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）的切线，求a的值；（2）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若曲线y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y²=4（x-1）的切线，求a的值；
（2）当a=-1时，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x₀的个数；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=e^x+a，把x=1代入得：f′（1）=e+a，
把x=1代入f（x）得：f（1）=e+a，所以切点坐标为（1，e+a），
则在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1）即：y=（e+a）x，
与y²=4（x-1）联立，消去得（e+a）²x²-4x+4=0，
由△=0知，a=1-e或a=-1-e；
（2）当a=-1时，由（2）知[f（x）]_min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1，
设h（x）=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，
则h′(x)=exlnx-ex?

1

x

-ex+1=ex(lnx+

1

x

-1)+1，
假设存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，
x₀即为方程的解，（13分）
令h′（x）=1得：ex(lnx+

1

x

-1)=0，因为e^x＞0，所以lnx+

1

x

-1=0．
令φ(x)=lnx+

1

x

-1，则φ′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当0＜x＜1是φ′（x）＜0，当x＞1时φ′（x）＞0，
所以φ(x)=lnx+

1

x

-1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，故方程ex(lnx+

1

x

-1)=0有唯一解为1，
所以存在符合条件的x₀，且仅有一个x₀=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）．（1）若曲线y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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