（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（x+y2）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．（1）试用α表示f（12），并在f（12）时求出α的值；（2）试-数学试题及答案

1、试题题目：（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（

1

2

），并在f（

1

2

）时求出α的值；
（2）试用α表示f（

1

4

），并求出α的值；
（3）n∈N时，a_n=

1

2n

，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（理）（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）
又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα
则sinα=

1

2

∵α∈(0，π)∴α=

π

6

或

5π

6

…．（3分）
（2）令x=

1

2

，y=0，f（

1

4

）=f（

1

2

）sinα=sin²α令x=0，y=

1

2

，f（

1

4

）=（1-sinα）f（

1

2

）=-sin²α+sinα
∴sinα=0或sinα=

1

2

∵α∈（0，π），∴α=

π

6

或

5π

6

…．（10分）
（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，所以
f（a_n）=f（

1

2n

)=f(

1

2n-1

+0

2

)=

1

2

f(

1

2n-1

)=

1

2

f(an-1）（n∈N）…（11分）
因此f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列 …（12分）
故f（a_n）=f（

1

2n

)=

1

2n

…（13分）．
猜测f（x）=x…（14分）．
（文）（1）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-3-m），
若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线． …（1分）
∵

AB

=(3，1)，

AC

=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m …（4分）
∴实数m=

1

2

时，满足条件．…（5分）
（2）若△ABC为直角三角形，且
①∠A为直角，则

AB

⊥

AC

，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=

7

4

…（7分）
②∠B为直角，

BC

=（-1-m，-m）则

AB

⊥

BC

，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-

3

4

…（10分）
③∠C为直角，则

BC

⊥

AC

，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=

1±

5

2

…（13分）
综上，m=

7

4

或m=-

3

4

或m=

1±

5

2

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：