设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=-1，（I）求f（1）、f(19)的值；（II）如果不等式-数学试题及答案

1、试题题目：设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

设函数y=f（x）是定义在R₊上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、f(

1

9

)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，
得f(

1

9

)=2．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因

x2

x1

＞1，由（2）知f(

x2

x1

)＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)
其中0＜x＜2，由函数f（x）在R₊上的递减性，可得：

x(2-x)＞

1

9

0＜x＜2

，
由此解得x的范围是(1-

2

3

，1+

2

3

)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞

1

9

且0＜x＜2，
得k＞

1

9x(2-x)

，此不等式有解，等价于k＞[

1

9x(2-x)

]min，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）_max=1，
故k＞

1

9

即为所求范围．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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