已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（3m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=9．
其中所有正确结论的序号是______．

试题来源：武昌区模拟试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
∴f（3^m）=f（3?3^m-1）=3f（3^m-1）=…=3^m-1f（3）=0，正确；
②取x∈（3^m，3^m+1]，则

x

3m

∈(1，3]；f(

x

3m

)=3-

x

3m

，f(

x

3

)=…=3mf(

x

3m

)=3m+1-x，
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③∵x∈（1，3]时，f（x）=3-x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3ⁿ+1）=3ⁿf（1+

1

3n

）=3ⁿ（3-（1+

1

3n

））=3ⁿ（2-

1

3n

）≠9，故③错误；
故答案为：①②．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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