函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若y=f（ax2-a2x）-f[（a+1）（x-1）]-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]在x∈（0，2）上有零点，求a的范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
则f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）为奇函数…（3分）
证明：（2）任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，设x₂=x₁+t，t＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）=-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在R上是减函数…（2分）
（3）∵y=f（ax²-a²x）-f[（a+1）（x-1）]=0
∴f（ax²-a²x）=f[（a+1）（x-1）]
即ax²-a²x=（a+1）（x-1）
∴ax²-（a²+a+1）x+a+1=（ax-1）[x-（a+1）]=0…（1分）
①a=0时，x=1∈（0，2）符合…（1分）
②a≠0时，则

1

a

∈（0，2）或a+1∈（0，2）
∴a≥

1

2

或-1＜a＜1且a≠0…（2分）
综上a∈（-1，+∞）…（1分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）对任意的实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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