已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(13)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(13)=log23，且对于任意..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(

1

3

)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可知：令x=y=0，则
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函数f（x）为奇函数，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函数为单调函数，且f(

1

3

)=

log

32

＞f（0）=0，∴函数在[-1，1]上为增函数，
所以

-1≤1-m≤1

-1≤2m-1≤1

1-m＜2m-1

，
解得：

2

3

＜m≤1
∴m的取值范围为：

2

3

＜m≤1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(13)=log23，且对于任意..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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