定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=4，则f（x）在[-2012，-100]上的最大值为_____

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=4，则f（x）在[-2012，-100]上的最大值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
令y=-x得f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）为奇函数；
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴当x₁＜x₂时，x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴y=f（x）在R上单调递增．
∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值为f（-100）．
∵f（2）=4，
∴f（-2）=-4，
∴f（-2-2）=f（-2）+f（-2）=2f（-2）=-4，即f（-4）=-8，
同理可得f（-6）=3f（-2）=-12
…，
f（-2n）=nf（-2），
∴f（-100）=50f（-2）=-200．
∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值为-200．
故答案为：-200．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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