发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-20 07:30:00
试题原文 |
|
(1)证明:任取x1、x2∈R,且x1<x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)], 于是由题设条件f(x+x′)=f(x)+f(x′)可知f(x2)=f(x1)+f(x2-x1). ∵x2>x1,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0. ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1). 故函数y=f(x)是单调减函数. (2)证明:∵对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x′), ∴若令x=x′=0,则f(0)=f(0)+f(0). ∴f(0)=0. 再令x′=-x,则可得f(0)=f(x)+f(-x). ∵f(0)=0,∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数. (3)由函数y=f(x)是R上的单调减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也为单调减函数. ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n). ∴f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=2f(1)+f(n-2)═nf(1). 同理,f(m)=mf(1). ∵f(3)=-3,∴f(3)=3f(1)=-3. ∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n. 因此,函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m]. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x、x′∈R均有f(x+x′)=f(x)+f(x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中分段函数与抽象函数”。