设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）=1；（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）在R上是减函数．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）?f（n），
则f（0）=1
（2）由（1）中结论可得：
令m=-n
则f（0）=f（-n）?f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，
∴f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）?f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
所以

f(x1)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1
所以f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是减函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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