定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（xy）=yf（x）（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）若f(12)＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅲ）若f(12)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（xy）=y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f(

1

2

)＜0，求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若f(

1

2

)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
证明：（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，∴存在s，t使得x₁=（

1

2

）^s，x₂=（

1

2

）^t，且s＞t．又f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（

1

2

）^s]-f[（

1

2

）^t]=sf（

1

2

）-tf（

1

2

）=（s-t）f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0 即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：

1

5

＜x＜

2

5

或2＜x＜3…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意的实数x，y都有f（xy）=y..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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