函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2；（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．回答下面的问题（1）求出f（1）的值；（2）写出一个满足上述条件的具体函数-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；
（2）当x＞1时，f（x）＜2；
（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的问题
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2
（2）f（x）=2+log_ax，其中a可以取（0，1）内的任意一个实数；
（3）f（x）在（0，+∞）单调递减
事实上，设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f(

x2

x1

)＜2
∴f(x2)=f(

x2

x1

?x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁）．
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；（2）当x＞1时，f（x）＜2..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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