已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且当x＞1时，f（x）＞2，设f（x）在[110，10]上的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=_____

1、试题题目：已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒n）=f（m）+f（n）-2，且当x＞1时，f（x）＞2，设f（x）在[

1

10

，10]上的最大值为P，最小值为Q，则P+Q=______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令n=1，得f（m﹒1）=f（m）+f（1）-2
∴f（m）=f（m）+f（1）-2，可得f（1）=2
令n=

1

m

，得f（1）=f（m?

1

m

）=f（m）+f（

1

m

）-2=2，
∴f（m）+f（

1

m

）=4，…（*）
可得f（

1

m

）=4-f（m）
当0＜x₁＜x₂时，

x2

x1

＞1
∴f（

x2

x1

）=f（x₂?

1

x1

）=f（x₂）+f（

1

x1

）-2＞2
∵f（

1

x1

）=4-f（x₁）
∴代入上式，可得f（x₂）+（4-f（x₁））-2＞2，得f（x₂）-f（x₁）＞0
因此f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴f（x）在[

1

10

，10]上的最大值为P=f（

1

10

），最小值为Q=f（10）
由（*）得f（

1

10

）+f（10）=4，可得P+Q=4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意m＞0，n＞0，都有f（m﹒..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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