已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f（0）=0，f（π2）=1．给出下列结论：①f（π4）=12②f（x）为奇函数③f（x）为周期函数④f（x）在（0，π）内为单调函数其-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知定义域为R的函数f （x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f （x）cosy，且f（0）=0，f（

π

2

）=1．给出下列结论：
①f（

π

4

）=

1

2

②f（x）为奇函数
③f（x）为周期函数
④f（x）在（0，π）内为单调函数
其中正确的结论是______．（填上所有正确结论的序号）．

试题来源：南京二模试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

对于①令x=y=

π

4

得f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)cos

π

4

所以f(

π

4

)=

2

，故①错
对于②令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy即f（y）+f（-y）=0，故f（x）为奇函数，故②对
对于③，令y=

π

2

得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，所以f(x+

π

2

)=-f(x-

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=-f(x+

π

2

)∴f(x+

3π

2

)=f(x-

π

2

)∴f（x）的周期为2π，故③对
对于④，由②③知，例如f（x）=sinx，满足但在（0，π）不单调，故④错
故答案为：②③

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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